12 мая, 2022 Автор: Соня Крапива

Урок 24 Графический способ решения систем уравнений

Урок 24. Графический способ решения систем уравнений

Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения, или убедиться, что общих решений у исходных уравнений нет.

Чтобы решить систему уравнений графическим способом нужно построить графики уравнений, входящих в систему, на одной координатной плоскости и найти точки их пересечения.

Вспомним основные виды графиков.

y = kx + b, где k и b – некоторые числа

y = ax 2 + bx + c, где a, b и c – некоторые числа, a ≠ 0

, где a, b, c и d – некоторые числа, с ≠ 0, adbc ≠ 0

(ya) 2 + (xb) 2 = c, где a, b и c – некоторые числа

, где n – некоторое чётное число

, где n – некоторое нечётное число

y = x n , где n – некоторое чётное число

y = x n , где n – некоторое нечётное число

Решим несколько задач.

Решите графическим способом систему уравнений

Приведём уравнения к виду, удобному для построения графиков.

Сначала первое уравнение:
x 2 + y 2 = 5 + 2x + 4y;
x 2 – 2x + 1 – 1 + y 2 – 4y + 4 – 4 = 5;
(x – 1) 2 + (y – 2) 2 – 5 = 5;
(x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 10.

Теперь второе уравнение:
2x = y – 5;
y = 2x + 5.

Теперь построим графики уравнений на одной координатной плоскости.

Используя чертёж найдем координаты точек пересечения графиков. Получим две точки: А(0; 5) и B(–2; 1).

Подставим найденные значения переменных, чтобы убедиться, что мы нашли точные, а не приближённые решения системы.

Определите, сколько решений может иметь система уравнений в зависимости от значений b

Графиком первого уравнения системы является парабола с вершиной в точке (0; –3).

Графиком второго уравнения системы является окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом b.

Построим в одной системе координат график первого уравнения и возможные варианты графика второго уравнения, начиная с маленького радиуса окружности и постепенно его увеличивая.

Таким образом, в зависимости от значения b система может не иметь решений, может имеет 2, 3 или 4 решения.

Источник

Графический метод. Описание, примеры решения уравнений

Эта статья посвящена одному из направлений функционально-графического метода решения уравнений, а именно, графическому методу. Сначала дано описание графического метода: раскрыта его суть, сказано, на чем базируется метод, приведено его обоснование, обговорены особенности метода, связанные с точностью. Дальше идет практическая часть: записан алгоритм решения уравнений графическим методом и показаны решения характерных примеров.

В чем состоит метод и на чем он базируется

Графический метод решения уравнений состоит в использовании графиков функций, отвечающих частям уравнения, для нахождения с их помощью решения уравнения. Базируется он на следующем утверждении:

Решение уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Обоснованием этого утверждения займемся в следующем пункте. А сейчас выудим из него полезные сведения.

Основное из них таково: по количеству точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) можно судить о количестве корней уравнения f(x)=g(x) , а по абсциссам точек пересечения можно судить о корнях этого уравнения. Проиллюстрируем сказанное.

Взглянем на чертеж, на котором изображены графики функций и .

Очевидно, в видимой области графики изображенных функций не имеют точек пересечения. За пределами видимой области графики тоже не имеют точек пересечения. Это мы можем утверждать в силу известного нам поведения графиков степенных функций и линейных функций. Отсутствие точек пересечения позволяет нам сделать вывод, что уравнение не имеет решений.

Другой пример. На следующем рисунке изображены графики функций и .

Сколько точек пересечения мы видим? Две. Известное поведение графиков показательных функций и линейных функций позволяет утверждать, что за пределами видимой области точек пересечения нет. Значит, графики функций и пересекаются в двух точках, следовательно, уравнение имеет два корня. А каковы значения этих корней? Для ответа на этот вопрос определяем абсциссы точек пересечения графиков. По рисунку находим, что абсциссы точек пересечения есть −2 и 1 . Через проверку подстановкой убеждаемся, что это действительно корни уравнения :

Здесь стоит заметить, что к проверке подстановкой мы обратились не случайно. Дело в том, что найденные по графикам значения корней можно считать лишь приближенными до проведения проверки. Подробнее об этом мы поговорим в одном из следующих пунктов этой статьи, раскрывающем особенности графического метода.

Обоснование метода

Докажем, что множество решений уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Для этого достаточно показать, во-первых, что если x – корень уравнения f(x)=g(x) , то x – это абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , и, во-вторых, если x – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , то x – корень уравнения f(x)=g(x) . Приступаем к доказательству.

Пусть x – корень уравнения f(x)=g(x) . Тогда f(x)=g(x) – верное числовое равенство. Это равенство можно трактовать так: значения функции y=f(x) и y=g(x) в точке x совпадают. А из этого следует, что x – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Или:  Договор найма жилого помещения образец от юридического лица

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части.

Пусть x – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Это означает, что значения функций y=f(x) и y=g(x) в точке x равны, значит, f(x)=g(x) . А из этого равенства следует, что x – корень уравнения f(x)=g(x) .

Так доказана вторая часть.

Особенности метода

Графический метод предполагает использование графиков функций. В общем случае построение графиков функций – дело непростое. Поэтому, графический метод решения уравнения обычно применяется лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, и при этом не видно другого аналитического метода решения. Это одна из особенностей графического метода решения уравнений.

Другая особенность касается получаемых по графикам результатов. Полученные по графикам результаты можно считать лишь приближенными. Дело здесь в том, что сами по себе графики функций — вещь не совсем точная (но при этом очень наглядная и во многих отношениях удобная), особенно если говорить о графиках, построенных от руки. Это следует из принципов, которыми мы руководствуемся при построении графиков функций. Что мы делаем для построения графика функции в общем случае? Проводим исследование функции, чтобы получить ряд «опорных» точек, таких как граничные точки области определения, максимумы-минимумы, точки перегиба, и понять поведение функции на всех интервалах ее области определения. После этого определяем несколько контрольных точек. Дальше переносим все определенные в ходе исследования точки на координатную плоскость и, сейчас внимание, соединяем их плавной линией в соответствии с выясненным в ходе исследования поведением функции. Эта «плавная линия» и есть график функции. О какой точности можно здесь говорить? Понятно, что она определяется точностью нашего построения.

С приближенными, найденными по графикам, значениями корней уравнения можно так или иначе работать. В некоторых случаях определенные по графикам значения корней оказываются точными значениями, в чем позволяет убедиться проверка подстановкой. В других случаях есть возможность уточнить значения корней до требуемой степени точности, для этого существуют специальные методы уточнения значений корней. А вот если по графикам нет возможности определить количество корней, не говоря уже об их значении, то, почти наверняка, стоит отказываться от графического метода решения уравнения. Добавим наглядности сказанному.

Давайте посмотрим на изображенные в одной прямоугольной системе координат графики функций и y=−x 2 +6·x−5 .

По этому чертежу сложно судить даже о количестве корней уравнения , не говоря уже про их значения с приемлемой степенью точности. Здесь можно лишь грубо сказать, что если корни есть, то их значения находятся на промежутке от нуля до трех. Такую прикидку мы даем по той причине, что графики функций в обозначенном промежутке очень близки, почти совпадают. Если есть возможность построить графики более точно в обозначенном промежутке, то это немного проясняет картину:

Сейчас мы видим три точки пересечения, даже можем приближенно указать их абсциссы: 1 , 2 и 2,7 . Но опять же, это не более чем приближенные результаты, нуждающиеся в проверке и строгом обосновании.

Учитывая оговоренные особенности графического метода решения уравнения, для себя можно принять следующее: к графическому методу стоит обращаться лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, когда по построенным графикам можно с уверенностью указать точное количество точек их пересечения, и когда не просматривается альтернативный метод решения.

Алгоритм решения уравнений графическим методом

Анализ приведенной выше информации позволяет записать алгоритм решения уравнений графическим методом. Чтобы решить уравнение графически, надо:

  • Построить в одной прямоугольной системе координат графики функций, отвечающие левой и правой частям уравнения.
  • По чертежу определить все точки пересечения графиков:
    • если точек пересечения нет, то решаемое уравнение не имеет корней,
    • если точки пересечения имеются, то переходим к следующему шагу алгоритма.

    Дадим краткий комментарий к последнему шага алгоритма. Иногда определенные по чертежу приближенные значения корней оказываются точными. Обычно это касается целых значений. Но, опять же, прежде чем утверждать, что найденные значения является точными корнями уравнения, сначала нужно осуществить проверку этих значений, например, проверку подстановкой.

    Решение примеров

    Графический метод решения уравнений начинает входить в арсенал изучающих математику в 7 классе сразу же после знакомства с координатной плоскостью и самой первой функцией – линейной функцией y=k·x+b . Именно тогда мы сталкиваемся с заданиями, наподобие следующего: с помощью графика линейной функции y=2·x−6 определить, при каком значении x будет y=0 [1, с. 50-51]. Для ответа на поставленный вопрос мы строим график указанной линейной функции y=2·x−6 .

    По чертежу находим точку пересечения графика с осью Ox (ось Ox отвечает графику функции y=0 ), и определяем абсциссу точки пересечения: x=3 . По сути, мы решаем уравнение 2·x−6=0 графическим методом.

    Чуть позже в 7 классе изучается функция y=x 2 . После этого опять заходит разговор о графическом методе решения уравнений, но уже более детальный, где метод уже называется своим именем и дается его алгоритм [1, с. 149-151; 2, с. 109]. Там с его помощью решаются уравнения, одной части которых отвечает функция y=x 2 , а другой – линейная функция y=k·x+b . Например, уравнение x 2 =x+1 . Для его решения строятся в одной системе координат соответствующие графики функций y=x 2 и y=x+1 :

    Графики, очевидно, пересекаются в двух точках. Можно определить приближенные значения их абсцисс: .

    В 8 классе изучаются новые виды функций: y=k/x , квадратичная функция y=a·x 2 +b·x+c , . И, естественно, рассматривается графический метод решения соответствующих уравнений. Особенно тщательно разбирается графическое решение квадратных уравнений. В учебнике Мордковича А. Г. приведены аж пять способов графического решения уравнения x 2 −2·x−3=0 [2, с. 127-131].

    И так далее: изучаются функции , степенные функции, тригонометрические, показательные, логарифмические, …, — рассматривается решение соответствующих уравнений графическим методом. Так к концу школьного курса математики мы начинаем воспринимать графический метод решения уравнений как общий метод, позволяющий решать уравнения не только определенных видов, но и уравнения, в которых уживаются самые разнообразные функции: показательные с корнями, тригонометрические с логарифмическими и т.д. Покажем решение такого уравнения.

    Решите уравнение

    В заключение вспомним, что в этой статье при разговоре об особенностях графического метода решения уравнений мы обращались к иррациональному уравнению . В качестве «благодарности» этому уравнению за помощь в обретении знаний приведем ссылку на его решение графическим методом.

    Источник

    9 класс. Алгебра. Системы уравнений.

    На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.

    Тема: Си­сте­мы урав­не­ний

    Урок: Гра­фи­че­ский метод ре­ше­ния си­сте­мы урав­не­ний

    1. Тема урока, основные определения

    Рас­смот­рим си­сте­му

    Пару чисел ко­то­рая од­но­вре­мен­но яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем и пер­во­го и вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы, на­зы­ва­ют ре­ше­ни­ем си­сте­мы урав­не­ний.

    Ре­шить си­сте­му урав­не­ний – это зна­чит найти все её ре­ше­ния, или уста­но­вить, что ре­ше­ний нет. Мы рас­смот­ре­ли гра­фи­ки ос­нов­ных урав­не­ний, пе­рей­дем к рас­смот­ре­нию си­стем.

    2. Решение линейной системы уравнений

    При­мер 1. Ре­шить си­сте­му

    Ре­ше­ние:

    Это ли­ней­ные урав­не­ния, гра­фи­ком каж­до­го из них яв­ля­ет­ся пря­мая. Гра­фик пер­во­го урав­не­ния про­хо­дит через точки (0; 1) и (-1; 0). Гра­фик вто­ро­го урав­не­ния про­хо­дит через точки (0; -1) и (-1; 0). Пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке (-1; 0), это и есть ре­ше­ние си­сте­мы урав­не­ний (Рис. 1).

    Ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся пара чисел Под­ста­вив эту пару чисел в каж­дое урав­не­ние, по­лу­чим вер­ное ра­вен­ство.

    Ответ:

    Вспом­ним, что при ре­ше­нии ли­ней­ной си­сте­мы воз­мож­ны сле­ду­ю­щие слу­чаи:

    Мы рас­смот­ре­ли част­ный слу­чай си­сте­мы, когда p(x; y) и q(x; y) – ли­ней­ные вы­ра­же­ния от x и y.

    3. Решение нелинейных систем уравнений

    При­мер 2. Ре­шить си­сте­му урав­не­ний

    Ре­ше­ние:

    Гра­фик пер­во­го урав­не­ния – пря­мая, гра­фик вто­ро­го урав­не­ния – окруж­ность. По­стро­им пер­вый гра­фик по точ­кам (Рис. 2).

    Центр окруж­но­сти в точке О(0; 0), ра­ди­ус равен 1.

    Ответ:

    При­мер 3. Ре­шить си­сте­му гра­фи­че­ски

    Ре­ше­ние: По­стро­им гра­фик пер­во­го урав­не­ния – это окруж­ность с цен­тром в т.О(0; 0) и ра­ди­у­сом 2. Гра­фик вто­ро­го урав­не­ния – па­ра­бо­ла. Она сдви­ну­та от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат на 2 вверх, т.е. ее вер­ши­на – точка (0; 2) (Рис. 3).

    Гра­фи­ки имеют одну общую точку – т. А(0; 2). Она и яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы. Под­ста­вим пару чисел в урав­не­ние, чтобы про­ве­рить пра­виль­ность.

    Ответ:

    При­мер 4. Ре­шить си­сте­му

    Ре­ше­ние: По­стро­им гра­фик пер­во­го урав­не­ния – это окруж­ность с цен­тром в т.О(0; 0) и ра­ди­у­сом 1 (Рис. 4).

    По­стро­им гра­фик функ­ции Это ло­ма­ная (Рис. 5).

    Те­перь сдви­нем ее на 1 вниз по оси oy. Это и будет гра­фик функ­ции

    По­ме­стим оба гра­фи­ка в одну си­сте­му ко­ор­ди­нат (Рис. 6).

    Ответ:

    4. Заключение, вывод

    Мы рас­смот­ре­ли гра­фи­че­ский метод ре­ше­ния си­стем. Если можно по­стро­ить гра­фик каж­до­го урав­не­ния и найти ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния, то этого ме­то­да вполне до­ста­точно.

    Источник

    

    Решение системы уравнений графическим методом средствами MS Excel

    Оборудование урока: компьютеры, мультимедиа проектор.

    Программное обеспечение: Windows XP, пакет программ MS Office 2003.

    Тема нашего урока тесно связана с математикой разделы “Графики функций” и “Решение систем уравнений”. Поэтому нам понадобятся ранее полученные навыки. Но мы постараемся упростить нашу задачу с помощью применения современных вычислительных средств.

    Запишите в тетради тему урока и укажите дату.

    Назовите мне кого из класса сегодня нет.

    Давайте вспомним, что такое уравнение, и как его можно решить графически.

    Назовите, пожалуйста, что в математике называют уравнением, решением уравнения и системой уравнений.

    (Учащиеся приводят определения)

    Уравнение – это математическое выражение, содержащее неизвестную величину (переменную) и 0 с правой стороны от знака =.

    Система уравнений – несколько связанных уравнений, имеющих одинаковые обозначения неизвестных величин (переменных).

    Решением уравнения – называют такое значение неизвестной величины, при подстановке которого левая часть выражения принимает значение 0. И мы получаем верное равенство.

    Но, с другой стороны, подобное выражение можно представить как функцию с зависимой и независимой величинами. Если мы слева от знака = поставим Y, а справа заданное выражение. Y – зависимая величина, Х – независимая величина. В этом случае Решением уравнения является точка пересечения графика функции с осью ОХ.

    Для решения уравнения графическим методом необходимо рассчитать значения функции в ключевых точках с координатой Х (Х меняется в диапазоне допустимых значений), нанести эти точки на систему координат, построить график функции и определить координаты точки пересечения графика с осью ОХ.

    Это достаточно сложная задача. Нужно достаточно много вычислений и аккуратное построение графика функции. Также мы заранее не можем сказать, из какого диапазона чисел необходимо брать значения Х.

    Но эту задачу может взять на себя ЭВМ.

    Мы воспользуемся возможностями программы MS Excel.

    Основная часть

    Давайте разобьемся на 2 группы. Сильные ученики, которые уже хорошо владеют средствами MS Excel, попытаются самостоятельно разработать таблицу. А остальные ребята будут вместе со мной последовательно выполнять действия.

    Сильные ученики пересаживаются за дальние компьютеры и самостоятельно разрабатывают таблицу для решения системы уравнений. Они должны получить примерно такую картинку на экране.

    С остальными мы работаем в режиме “Делай как Я”. Я демонстрирую действия на экране проектора и комментирую, вы стараетесь выполнять эти действия у себя на ЭВМ.

    И так. Мы запустили программу MS Excel.

    Мы хотим разработать таблицу для решения системы уравнений:

    Нам необходимо задать диапазон изменения величины Х и рассчитать соответствующее значение Y.

    Сформируем начальные данные.

    В ячейку A1 запишем – нач Х =. В ячейку D1 запишем – шаг Х =. В ячейках B1, E1 их соответствующие значения – (-2,5) и 0,15.

    В ячейках C4, F4 запишем общий вид наших уравнений. В строке 5 сформируем заголовки будущих таблиц значений заданных функций.

    Теперь в столбиках B, E мы должны сформировать значения для величины Х. А в столбиках C, E значения величин Y. У нас должна получиться вот такая картинка. Столбики со значением величины X мы должны сформировать так, чтобы было удобно менять начальное его значение и шаг X, которые мы создали в заголовке.

    Формулы, которые нам нужно ввести приведены на рисунке.

    Заметьте, что большинство формул повторяются, и их можно ввести методом копирования.

    Заполните, пожалуйста, в каждой таблице 20-25 строчек.

    Символ $ в формуле обозначает, что данный адрес ячейки является абсолютным и он не будет изменяться при копировании формулы.

    Проверьте, чтобы ваши расчётные данные совпадали с рисунком 2.

    Нам осталось красиво оформить таблицы. Для этого нужно указать, какие границы отображать в ячейках расположения расчётных таблиц. Выделите их указателем мышки и задайте режим “Все границы”.

    Теперь нам необходимо построить графики заданных функций. Для этого воспользуемся инструментом “Диаграммы”.

    Выберем тип диаграммы Точечная-Сглаженная и на следующем экране укажем необходимые нам диапазоны данных, как указано на рисунке. Незабудем указать название для каждого графика. Легенду расположим снизу. А саму диаграмму “На текущем листе”, поместив её справа от расчётных таблиц.

    Если вы всё сделали правильно, то у вас на экране должна получиться вот такая картинка.

    У кого не получилось, давайте вместе разберёмся в ошибках и добъёмся требуемого результата.

    Теперь изменяя значения в ячейках B1, D1 можно смещать графики функций вдоль оси ОХ и изменять их масштаб.

    Мы видим, что одно из решений нашей системы уравнений равно -1,5.

    Изменяя начальное значение Х, найдите на графике второе решение системы уравнений.

    Сколько у вас получилось?

    Великолепно. У нас получилось. Мы легко решили такую сложную систему уравнений.

    Но можно немного изменить нашу таблицу и усовершенствовать для решения множества подобных систем уравнений или для исследования графиков заданных функций.

    Для этого нужно внести изменения в таблицу и расчётные формулы.

    Можно сделать следующим образом, как показано на рисунке. Формулы в ячейках показаны на следующем рисунке.

    Самостоятельно внесите все необходимые изменения.

    Попробуйте изменять коофициенты A, B, C, D и посмотрите, как меняется форма и положение графиков соответствующих формул.

    Заключительный этап урока

    Ребята, как вы думаете, что удобней самостоятельно строить график функции на бумаге или поручить эту задачу ЭВМ?

    А что легче для вас?

    Конечно же, на данном этапе вам удобней самостоятельно на бумаге построить график функции. Но в конце урока мы получили универсальную таблицу, которая позволяет решать множество подобных заданий.

    Мы ещё раз убедились, что компьютер это мощный инструмент, который позволяет не только приятно проводить время за играми, но и решать серьёзные задачи.

    Надеюсь, что вам понравилось сегодняшняя работа. И вы Довольны достигнутыми результатами.

    Источник

    Или:  Как оформить загранпаспорт в Красноярске в 2021 инструкция документы адреса